悲嘆之種的經濟學：以個體模擬分析《魔法少女小圓》的魔法少女系統

資源循環示意圖：候選人、魔法少女、魔女、悲嘆之種與丘比之間的流動 — 資源循環。實線為主循環，紫色虛線為丘比的兩項作用，點線為兩個邊界流：魔女從模型外部湧入，以及寶石碎裂造成的折損（不產生魔女，因此沒有能量可回收）。

摘要

《魔法少女小圓》中的魔法少女、魔女與丘比構成一個子系統。本研究將其寫成一個資源循環，並以個體模擬（agent-based simulation）觀察它在系統層面的表現，也就是把每一名魔法少女與每一隻魔女都當成獨立個體逐一模擬，再看整體會浮現什麼樣的規律。模型的每一條規則都取自作品設定：淨化是把污濁移入悲嘆之種而非消滅它、裝滿的種子會孵化為新魔女除非被丘比吞食、擊敗魔女不一定留下種子、混濁的寶石會削弱持有者的戰力，以及使魔吞噬人類後會成長為魔女。作品設定已給出數值的量直接採用，其餘則對照作品中的三項特徵校準：一座城市維持少數幾名魔法少女、資深者的資歷達數年、多數生涯以魔女化收場。

研究發現有四：一、在作品所呈現的密度下，主導濁化收支的是與魔女的戰鬥，少女之間的爭奪僅佔其 0.15；該比值隨密度上升，要到同時約九名少女才會跨越一比一，遠高於作品所描繪的規模。二、少女折損的速率由締約速率決定，與種子供給幾乎無關；種子供給改變的是折損的方式，以及丘比的回收量。三、累積回收量會飽和。積極招募換得的優勢只是暫時的，因為它取自一個只能消耗一次的存量，也就是龐氏（Ponzi）結構。四、一座對外封閉的城市只有兩種結局：少女因缺乏種子而餓死，或使魔增殖而城市失守。

以上結果均為模型在既定假設下的性質，並以一條精確的守恆恆等式檢驗程式實作。

四項發現

在作品的密度下，主導濁化收支的是戰鬥。少女與魔女戰鬥所受的濁化是彼此爭奪的 6.7 倍，爭奪僅佔 0.15。該比值隨密度上升，要到同時約 9.4 名少女才跨越一比一，比作品所描繪的一至五人高出一個數量級。
折損速率取決於締約，而非種子供給。在整個魔女移入率的範圍內，折損都維持在每日 0.0034 至 0.0045，與締約率一致。把種子供給變充裕，改變的不是折損人數而是折損方式：魔女化比例由 99.5% 降至 89.1%，丘比的回收也隨之由每日 0.0050 降到 0.0038。
累積回收量會飽和。招募率超過 0.016 之後，8000 日的總量落在 45.0 至 46.9 之間，而在 0.004 時僅 13.8。積極招募換得的優勢取自一個只能消耗一次的存量，也就是龐氏（Ponzi）結構。
封閉的城市不是餓死就是失守。使魔成熟率 0.005 以下時，少女幾乎無法淨化，生涯恰好等於自然壽命；0.02 時魔女增至 173.5 隻，全部模擬皆失守。中間沒有可持續的狀態。

濁化收支分解與爭奪對戰鬥的成本比值 — 發現一。左：一生的濁化來源與去向。右：爭奪成本對戰鬥成本的比值，虛線為兩者相等處。

爭奪對戰鬥的比值與生涯中位數隨同時人數的變化 — 發現一的邊界。左：比值隨同時人數上升，在約 9.4 名少女處跨越一比一。右：生涯中位數隨同時人數的變化。

魔女化比例、丘比回收量與生涯存活曲線 — 發現二。左：魔女化比例對跨城市移入率。中：丘比的回收量與僅計絕望的預測值。右：兩種情況下的生涯存活曲線。

不同評估期間下的最適招募率與回收軌跡 — 發現三。左：三種評估期間下，正規化累積回收量對招募率。右：候選人池受限時的回收軌跡。

封閉城市中少女與魔女的數量以及失守比例 — 發現四。左：少女與魔女的同時人數對使魔成熟率。右：城市被判定失守的模擬比例。

延伸實驗：以強化學習調整丘比的招募率，能勝過固定招募率嗎？

結果三只比較了固定招募率。既然候選人池的水位是可觀測的狀態，一個依狀態調整的招募策略照理應該更好：池子見底時降低招募，回補後再提高。本研究以表格式 Q-learning（強化學習的一種，reinforcement learning）搜尋這樣的策略，決策以 100 日為一個宏觀步，動作為六個離散招募率，並以折現因子取代評估期間。

結果是否定的。三個折現因子下各訓練 2000 個回合，學到的策略都沒有勝過最佳固定招募率，但差距很小。

折現因子	學到的策略	最佳固定招募率	差距
0.9	46.3	47.6	−2.8%
0.99	45.3	47.6	−4.9%
0.999	46.5	47.6	−2.4%

這個結果不代表固定招募率比較好，而是說明回收量受候選人流入速度封頂。固定招募率的回收在 0.016 以上已形成平台，學到的策略正落在平台之內，學習曲線自第 200 回合起也沒有上升趨勢。因此本研究只能說，在這組參數下，依狀態調整的策略沒有可證實的優勢。

延伸實驗：放養使魔划得來嗎？

作品設定裡使魔不掉落悲嘆之種，但吞噬足夠人類之後會成長為魔女，因此有些魔法少女會刻意不獵殺使魔，等它成熟為魔女再收種子，設定裡把這種作法稱為放養（witch farming），作品中也有角色為此起過爭執。基準模型把使魔簡化成一個成熟率，模型裡也就不存在這個取捨。本實驗把使魔還原成獨立個體：它會吞噬人類，母體魔女被擊敗時會跟著消滅，被提前清除則一無所獲。再以此掃描採取放養的少女比例。

放養確實推高了種子供給，但沒有換到任何東西。實際成熟率上升 4.3 倍，而生涯長度與丘比的回收量都落在重複試驗的雜訊之內；真正上升的是這筆帳裡沒有人在計算的那項成本。

放養比例	實際成熟率	生涯中位數	丘比回收量	人類損失／千日
0	0.00222	116	35.4	16.3
0.5	0.00379	115	35.9	18.3
1	0.00949	106	34.0	24.6

放養比例對生涯長度、丘比回收量與人類損失的影響 — 使魔作為個體。左：生涯長度中位數。中：丘比的累積回收量。右：每千日的人類損失。

原因與結果三是同一件事：限制回收量的是候選人抵達的速度，而不是種子供給。生涯長度不動則是因為額外的種子必然伴隨額外的魔女，戰鬥所耗抵銷了淨化所得。需要說明的是，這是族群層次的收支，不是對任何一名少女的斷言。

重現

環境以 uv 管理。九組實驗使用確定性種子，重跑會得到相同數字。

git clone https://github.com/yuna0x0/madoka-magica-abm.git
cd madoka-magica-abm
uv sync
uv run madoka-abm experiments   # 單核心約一分鐘

論文以 Typst 編譯，中文版需要一套 CJK 襯線字型（預設 Noto Serif CJK TC）。

引用

@misc{hoshinomiya2026griefseed,
  title  = {The Grief Seed Economy: An Agent-Based Model of the Magical Girl
            System in Puella Magi Madoka Magica},
  author = {Hoshinomiya, Yuna},
  year   = {2026},
  url    = {https://madoka-magica-abm.pages.dev},
  note   = {Independent study, not peer reviewed. Code and data:
            https://github.com/yuna0x0/madoka-magica-abm}
}