悲嘆之種的經濟學：以個體模擬分析《魔法少女小圓》的魔法少女系統

摘要

《魔法少女小圓》中的魔法少女、魔女與丘比構成一個子系統。本研究將其簡化為一個封閉的資源循環，並以個體模擬（agent-based simulation）觀察它在系統層面的表現，也就是把每一名魔法少女與每一隻魔女都當成獨立個體逐一模擬，再看整體會浮現什麼樣的規律。簡化後的模型保留五項要素：靈魂寶石會累積濁化、濁化須以魔女留下的悲嘆之種淨化、寶石濁化至飽和的少女將化為魔女、丘比回收此一轉變所釋放的能量，以及新的少女透過締約進入系統。模型建構於城區網格之上，並納入少女彼此爭奪悲嘆之種的鷹鴿賽局（hawk–dove game）。

研究發現有四：一、一名少女一生累積的濁化主要來自與其他少女的爭奪，而非與魔女的戰鬥；魔女稀少時兩者比例約為 5.9 比 1，魔女充裕時則降至 1 以下。二、少女折損的速率取決於丘比締約的速率，與悲嘆之種的供給幾乎無關；魔女增加時改變的是折損的方式而非折損的人數，其中以魔女化收場的比例由 88% 降至 31%。三、丘比累積回收的能量受限於新候選人出現的速度，因此使回收量最大化的招募率，會隨著評估期間拉長而下降；早期的高回收來自一次性的存量，這是一個龐氏（Ponzi）結構。四、爭奪悲嘆之種的侵略性呈現公地悲劇（tragedy of the commons）的結構：族群整體在侵略性約 0.15 時存活最久，但在資源稀缺的情況下，較強硬的策略仍能侵入較溫和的族群。

以上結果均為模型在既定假設下的性質。本文標明各項結果成立的參數範圍，並以一條精確的守恆恆等式檢驗程式實作。

資源循環示意圖：候選人、魔法少女、魔女、悲嘆之種與丘比之間的流動 — 資源循環。實線為主循環，紫色虛線為丘比的兩項作用，點線為兩個邊界流：魔女從模型外部湧入，以及寶石碎裂造成的折損（不產生魔女，因此沒有能量可回收）。

四項發現

爭奪主導濁化收支。魔女稀少時，少女彼此爭奪造成的濁化是與魔女戰鬥的 5.3 至 5.9 倍；魔女充裕時降至 0.8。在本模型中，衝突是稀缺的結果，而非性格的結果。
折損速率取決於締約，而非種子供給。魔女出現率橫跨百倍，折損速率仍維持在每日 0.0138 至 0.0157。改變的是折損方式：魔女化比例由 87.8% 降至 30.7%，丘比的回收也隨之由每日 0.0126 降到 0.0043。
累積回收量受候選人流入所限。使回收量最大化的招募率隨評估期間拉長而下降，由 500 日的 0.140 降至 8000 日的 0.110。高招募率的優勢全部取自一個不會補充的存量，也就是龐氏（Ponzi）結構：唯有不斷有新的候選人進來，才能維持高回收。
侵略性呈現公地悲劇（tragedy of the commons）的結構。集體最適落在侵略性 0.15，但資源稀缺時，侵略性 0.5 的突變者仍能以 1.035 倍的生涯中位數侵入 0.25 的既有族群，侵略性因而向上飄移。

濁化收支分解與爭奪對戰鬥的成本比值 — 發現一。左：一生的濁化來源與去向。右：爭奪成本對戰鬥成本的比值，虛線為兩者相等處。

魔女化比例、丘比回收量與生涯存活曲線 — 發現二。左：魔女化比例對魔女出現率。中：丘比的回收量與理論預測。右：兩種環境下的生涯存活曲線。

不同評估期間下的最適招募率與回收軌跡 — 發現三。左：三種評估期間下，正規化累積回收量對招募率。右：候選人池受限時的回收軌跡。

侵略性地景與入侵適應度 — 發現四。左：全體採取相同侵略性時的生涯中位數。右：突變者對既有族群的入侵適應度，虛線為中性水準。

延伸實驗：以強化學習調整丘比的招募率，能勝過固定招募率嗎？

結果三只比較了固定招募率。既然候選人池的水位是可觀測的狀態，一個依狀態調整的招募策略照理應該更好：池子見底時降低招募，回補後再提高。本研究以表格式 Q-learning（強化學習的一種，reinforcement learning）搜尋這樣的策略，決策以 100 日為一個宏觀步，動作為六個離散招募率，並以折現因子取代評估期間。

結果是否定的。三個折現因子下各訓練 2000 個回合，學到的策略都沒有勝過最佳固定招募率。

折現因子	學到的策略	最佳固定招募率	差距
0.9	229.7	242.3	−5.2%
0.99	209.0	242.3	−13.8%
0.999	180.0	242.3	−25.7%

這個結果不代表固定招募率比較好。有兩點限制了實驗能說明的範圍：累積回收量在招募率 0.096 以上幾乎持平，狀態依賴策略可爭取的空間小於評估雜訊；學到的 Q 表也明顯欠擬合（underfitting）。因此本研究只能說，在這組設定下，狀態依賴策略沒有可證實的優勢。

重現

環境以 uv 管理。六組實驗使用確定性種子，重跑會得到相同數字。

git clone https://github.com/yuna0x0/madoka-magica-abm.git
cd madoka-magica-abm
uv sync
uv run madoka-abm experiments   # 單核心約三分鐘

論文以 Typst 編譯，中文版需要一套 CJK 襯線字型（預設 Noto Serif CJK TC）。

引用

@misc{hoshinomiya2026griefseed,
  title  = {The Grief Seed Economy: An Agent-Based Model of the Magical Girl
            System in Puella Magi Madoka Magica},
  author = {Hoshinomiya, Arisu},
  year   = {2026},
  url    = {https://madoka-magica-abm.pages.dev},
  note   = {Independent study, not peer reviewed. Code and data:
            https://github.com/yuna0x0/madoka-magica-abm}
}